El Binomio de Newton. Desarrollando el binomio en 3 pasos.

El Binomio de Newton.  

Desarrollando el binomio en 3 pasos.

En esta entrada mostraremos un procedimiento distinto a lo que muchos estamos acostumbrados al momento de trabajar con el binomio de Newton. Explicaremos los pasos a seguir para desarrollar un binomio elevado a la potencia que deseemos (siempre y cuando sea entera y positiva), sin necesidad directa de hacer uso de factoriales, números combinatorios o el famoso triángulo de Pascal.

Para facilitar la lectura y explicación del ejercicio partiremos del ejemplo para mostrar los pasos a seguir de este método, recordando en todo momento que este mismo procedimiento puede aplicarse para cualquier caso en que la potencia sea un número entero positivo.

Antes de comenzar, es importante considerar que para todo binomio elevado a la potencia n, al desarrollarlo, el número de términos que obtendremos serán n + 1 términos. Así, por ejemplo, un binomio elevado a la 6ta potencia se podrá expresar como una suma de 7 términos, un binomio elevado a la potencia 12 estará compuesto por 12 + 1 = 13 términos, etc.

Por lo tanto, en nuestro ejemplo:

sabemos que el desarrollo de la potencia dará como resultado la suma de 6 términos de la forma "(p)(a^m)(b^n)". Nuestra labor será hallar el coeficiente 'p' de cada término y sus respectivas potencias de 'a' y 'b'.

• Paso 1:

Una vez que conocemos el número de términos con los que trabajaremos y la forma en que se presentarán, podemos iniciar escribiendo cada uno de ellos de la siguiente forma:

La numeración de cada término, aunque no es obligatoria, será importante para el método que utilizaremos en pasos posteriores. Por ahora, solo debemos considerar que cada uno de ellos estará compuesto de un coeficiente y las variables a y b, cada una con su respectivo exponente.

• Paso 2:

Lo siguiente a efectuar será la asignación de exponentes. Partimos de la potencia a la que está elevado nuestro binomio (en este caso 5) y lo colocamos como potencia de a en el término 1. En b, comenzaremos asignándole 0 como su potencia en el primer término. Partiendo de aquí, seguimos dos sencillas reglas:

1. De izquierda a derecha, los exponentes de a disminuyen en una unidad con respecto al coeficiente inmediato anterior.
2. De izquierda a derecha, los exponentes de b aumentan en una unidad con respecto al coeficiente inmediato anterior.

Este paso puede representarse de la siguiente forma:

Note que el exponente de a disminuye de 5 hasta 0, mientras que el exponente de b aumenta de 0 hasta 5 (la potencia original de nuestro binomio).

Una vez que hayamos colocado cada uno de los exponentes, prepararemos el terreno para el siguiente y "último" paso de nuestro procedimiento. Así que, a continuación, como regla de este método, colocaremos en el primer término un 1 como coeficiente. Este paso intermedio es aplicado siempre, sin importar la potencia del binomio con el que estemos trabajando. 

Recuerda, el primer término lleva siempre como coeficiente 1. Siempre. "Always".

• Paso 3:

Este paso, aunque puede parecer más laborioso, es igual de sencillo que los anteriores. Es aquí donde hacemos uso de la numeración de nuestro términos ([1], [2], [3], [4], [5] y [6]), para hallar los coeficientes de nuestra expresión. 

De este modo únicamente tendremos que hacer uso del siguiente algoritmo o conjunto de operaciones:

Tomamos el primer exponente de a, en este caso es 5, lo multiplicamos por el coeficiente del mismo término (recordando que por regla de este método es igual a 1) y el resultado es dividido entre el número o la posición del término (que aquí corresponde a [1]). Tras esta operación, el entero obtenido será el coeficiente de nuestro siguiente término, por lo que tendremos que repetir este algoritmo hasta obtener el resto de los coeficientes.

Esta operación puede parecer algo confusa, sin embargo, es posible resumirla de la siguiente forma:

    ( Exponente de a ) * ( Coeficiente del término actual ) ÷ ( Número del término actual) = Coeficiente del siguiente término.

ó en nuestro caso expuesto

    ( 5 ) * ( 1 ) ÷ 1 = 5

Para mayor claridad, veamos este paso con nuestro ejemplo.

Una vez que hemos conseguido el coeficiente del segundo término, procedemos a obtener el coeficiente del término número 3, siguiendo la misma regla. A continuación se muestra este paso.

En este caso, la operación realizada fue la siguiente:

    ( 4 ) * ( 5 ) ÷ ( 2 ) = 10

Ya que contamos con el tercer coeficiente, podemos encontrar el coeficiente número 4 y continuar de esta manera hasta completar los 6 términos.

El resultado final de este algoritmo y del procedimiento, en general, para obtener el desarrollo de un binomio a la potencia 5 es el siguiente:

Al llegar a este punto, podemos dar por terminado nuestro procedimiento y conservar este resultado como respuesta para el desarrollo de nuestro binomio elevado a la 5ta potencia. Sin embargo, la mayoría de los lectores notará que la expresión obtenida puede reducirse al considerar las siguientes leyes:

Por lo que nuestro resultado, una vez simplificado, quedaría de la siguiente forma:

Finalmente, una vez que sabemos cómo desarrollar nuestro binomio de la forma (a + b)^n podríamos preguntarnos ¿qué sucede cuando el binomio corresponde a la forma (a - b)^n?

En esta entrada, trabajamos únicamente con el caso en el que que a y b se suman, pero no hay de qué preocuparse, ya que en el caso en que a y b se presenten como una resta utilizaremos el mismo procedimiento, con la única excepción de alternar los símbolos + y - entre cada uno de los términos del resultado. Es importante recordar que en este caso, el primer término siempre será positivo, el segundo será negativo y el tercero positivo, de esta forma continuaremos alternando signos + y - hasta terminar con el último de los términos.

Así, nuestro ejemplo anterior, presentado ahora como una diferencia, se desarrollaría de la siguiente forma:

Note que nuevamente podemos reducir este resultado simplificando las expresiones a⁰, b⁰, (1) a y (1) b. De este modo obtenemos:

El procedimiento aquí explicado se puede aplicar para todo binomio elevado a la potencia n, donde n es cualquier número entero positivo. Los pasos a seguir son los mismos para cada una de las potencias, sólo debes recordar que el primer coeficiente siempre es 1 y en las restas alternamos signos.