Funciones y curvas paramétricas. La circunferencia

Una función se define como una relación única entre un elemento de un conjunto y otro diferente, de manera que a cada elemento del conjunto 1, se le asigna un único y exclusivo elemento del conjunto 2.

Si pasamos esta definición a una manera gráfica, se tiene que si una curva toca sólo una vez a cada recta vertical que pueda ser dibujada, entonces a esa curva se le denominará función. Son estas las funciones que se estudian en calculo diferencial e integral, pero ¿cómo se describen aquellas curvas que no cumplen esta regla? Si se piensa un poco, estamos algo limitados al intentar describir todas las curvas posibles como funciones, y para ello, se describen las curvas paramétricas.

curva que no es una función

curva que sí es una función

Una curva paramétrica puede tener la forma que sea y puede describirse de miles de formas, pues este tipo de curvas no dependen de los ejes coordenados como tal, sino que estos dependen de una tercer variable, la cual posibilita tomar los valores que desee en el momento que se desee.

Pensemos en el caso de una circunferencia, una circunferencia se define como aquel conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo (x0,y0) sea siempre la misma, esta curva no cumple la condición de ser una función, por lo que se tienen dos posibilidades, “romper” esta curva en dos funciones, una con raíz positiva y otra con raíz negativa lo cual es algo tedioso y feo de escribir pues llega a romper la simetría que tiene la curva, sin embargo, veremos que es mucho más elegante y sencillo escribirla mediante una parametrización.

circunferencia dibujada mediante dos funciones

Pensemos en el caso especial de la circunferencia descrita por la ecuación:

 Esta ecuación es una forma de ver el teorema de Pitágoras, lo cual es algo curioso que de una circunferencia nos transfiera a una relación trigonométrica como una función de senos y cosenos. 

relación trigonométrica de cualquier punto de la circunferencia.

Es decir, reescribimos la ecuación:

 a: 

Notamos que esta nueva ecuación sólo depende de una sola variable, que es el ángulo α, y si pensamos que una circunferencia es la combinación de un movimiento en x y otro en y, podemos reescribir esta ecuación de manera vectorial como:

ecuación paramétrica de una circunferencia

donde r(α) describe la posición en cualquier momento o ángulo α de una partícula, donde en el primer término del lado derecho, (cos α), representa la posición en “x” de la partícula en cualquier momento, y el segundo término, (sin α) representa la posición “y” de la partícula para cualquier momento α, y como el dominio tanto de sin(α) como del cos(α) está entre -1 y 1, nos damos cuenta de que en realidad estas dos funciones se complementan para realizar una circunferencia en sí mismas, con los coeficientes adecuados, claro, pero no nos adelantemos.

Si tenemos una curva

Que define la posición de una partícula en cualquier momento t, y recordando que

Utilizando la identidad trigonométrica de la cual partimos:

Obtenemos:

La cual nos regresa a la ecuación de la circunferencia, pero esta vez, es una circunferencia de radio A, ya que, al reacomodar tenemos:

Por lo tanto, de la ecuación:

Vemos que si t lo damos en radianes, y comenzamos en 0, la partícula en el momento t=0, estará posicionada en el punto (A,0), ahora, si le damos valores positivos a t, nos damos cuenta de que no solo me dice cómo se mueve la partícula, sino también hacia dónde, esto me permite definir una dirección de movimiento, en el siguiente caso, gira en sentido antihorario y el radio de la circunferencia es de 1 unidad.

Y, ¿me dirá algo acerca de qué tan rápido se mueve? Pues sí, si nosotros modificamos el ángulo, por ejemplo, que ahora no fuera solo:

Sino un:

Vemos que la partícula recorrerá la circunferencia completa en un tiempo menor a que si t estuviera solo multiplicada por 1, de hecho, esto es un factor que altera la “velocidad angular” con la que se mueve dicha partícula.

Esta parametrización parece mucho mas sencilla, elegante y eficaz para representar una circunferencia, además de que es muy intuitiva, pero, ¿qué pasa si yo cambio el orden? r(t)=(sin(t),cos(t)), bueno, simplemente nos daremos cuenta de que solo cambiará el sentido de rotación, ya no girará en sentido antihorario ni empezará en el punto (1,0) cuando t=0, sino que ahora comenzará en el punto más alto de su circunferencia, (0,1), y girará en sentido horario para valores positivos de t.

Este tipo de parametrizaciones son muy útiles en física pues tienen un significado bastante intuitivo, que es la posición de las partículas, siendo r(t) no solo una curva, sino un vector de posición, y, además, veremos que estos vectores pueden describirme un movimiento en una dimensión, en dos, o tres, en las dimensiones que se deseen, sin embargo, como estamos en un universo de tres dimensiones físicas, lo común es utilizar un vector en R^3 r(t)=(x(t),y(t),z(t)).