Geometría Analítica 0. Introducción.

Geometría Analítica. Nivel 0.

El punto dentro del sistema de coordenadas.

En esta entrada, como inicio a la serie "Geometría analítica", hablaremos acerca de un concepto fundamental en la geometría: El punto. Sin embargo, intentar otorgarle una definición formal nos sería complicado debido a su naturaleza, pues sólo nos relaciona un lugar en el espacio respecto a un sistema coordenado. Es por esto que un punto no se define, solo se ubica, es decir, tiene posición.

Durante la explicación del tema trabajaremos con el punto dentro del plano cartesiano. Este sistema estará constituido por dos ejes coordenados perpendiculares entre sí: un eje horizontal, al que llamaremos ejes de las 'x' o abscisas, y un eje vertical, que nombraremos como eje de las 'y' o de las ordenadas. El punto de intersección entre estos dos ejes corresponde a nuestro origen del sistema y lo denotamos con la letra 'O' del alfabeto, o el número 0 (cero).

Partiendo del origen, cada eje es dividido en 2 secciones correspondientes a valores positivos y negativos, tanto en x como en y. Estos valores son asignados consecutivamente de mayor a menor, en x de izquierda a derecha y en y de "abajo" hacia "arriba". La siguiente ilustración muestra un ejemplo.

Una vez considerado lo anterior, podemos notar que el plano se ha dividido en cuatro espacios delimitados por los ejes. A estos espacios generados les llamamos cuadrantes y se encuentran numerados del 1 al 4, en sentido anti-horario, de la siguiente manera:

En el cuadrante I encontraremos valores positivos, tanto en el eje x como en el eje y. En el cuadrante II los valores de x son negativos, mientras que en y encontramos valores positivos. Dentro del cuadrante III ambos ejes poseen valores negativos. Por último, en el del cuadrante IV, el eje x toma valores positivos y el eje y los toma negativos.

Así, en un plano de dos dimensiones, como el descrito anteriormente, la posición de un punto estará definida por un par ordenado (x, y) de números reales llamados coordenadas. De tal modo que un punto A determinado por las coordenadas (1, 2) se ubica 1 unidad en dirección a la parte positiva del eje x, y 2 unidades en dirección a la parte positiva del eje y. Ya que ambos valores de su coordenada son positivos, podemos inferir que su posición se encuentra dentro del primer cuadrante (I). Este punto lo denotamos como A(1, 2) y gráficamente podemos visualizarlo de la siguiente forma:

De igual manera, la ubicación de los puntos B(0, 3), C(-2, -4), D(-3, 2) y E(2, -2) se ubicarán en el plano de acuerdo a sus coordenadas (x, y), considerando en todo momento el signo positivo o negativo de sus valores. (Al igual que en otras áreas de las matemáticas, el signo positivo (+) puede omitirse en algunos casos).

Distancia entre dos puntos:

Un punto definido por su coordenada (x, y) dentro de los ejes coordenados, como hemos dicho anteriormente, no es más que que una determinación de su posición y es posible ubicar en el plano tantos puntos como queramos. Dado esto, podemos plantearnos cuestiones como ¿Qué tan cercano se encuentra un punto con respecto a otro? y ¿Cómo podemos obtener esta distancia?

La respuesta a estas preguntas puede parecer sencilla y, en realidad, lo es. Para encontrar la distancia entre dos puntos solo necesitaremos hacer uso de triángulos rectángulos y, por consiguiente, del Teorema de Pitágoras. Veamos.

Considerando los puntos del ejemplo anterior, digamos que queremos conocer la distancia que existe entre el punto A(1, 2) y B(3, 0), indicada con el segmento de línea recta y denotada como d. 

Para obtener el valor de d, realizaremos el trazo de un triángulo rectángulo, cuya base y altura sean paralelos a los ejes x y y, respectivamente, y su hipotenusa corresponda al segmento de recta d. Así, en nuestro triángulo de lados a, b, d, bastaría con calcular el valor de la hipotenusa d para conocer la distancia que existe entre los puntos A y B. El trazo quedaría de la siguiente forma:

Ahora, haciendo uso del teorema de Pitágoras, sabemos que la suma de ambos catetos del triángulo, elevados al cuadrado, es igual al cuadrado del valor de su hipotenusa. 

Así,  d²=a²+b² 

Pero, ¿qué valores le corresponden a a y b? Observando la figura, y considerando las coordenadas (x, y) de los vértices, podemos concluir estos datos. En el caso del cateto a, su longitud es igual a la diferencia entre valor de la coordenada en x del punto B(3, 0) y el valor de la coordenada en x del punto A(1, 2), por lo que la longitud de a sería:

a = 3 - 1

a = 2

Entonces, en este caso, b será igual a la diferencia entre el valor de la coordenada en y del punto A(1, 2) y el valor de la coordenada en y del punto B(3, 0), dando como resultado:

b = 2 - 0

b = 2

Para tener una mejor idea de esto, en la siguiente ilustración podemos observar los segmentos que corresponden a los valores con los que obtuvimos estas distancias:

Finalmente, ya que conocemos el valor de los catetos a y b, solo debemos sustituir en nuestra expresión

 d²=a²+b² 

y despejar d realizando la raíz cuadrada en ambas partes de la ecuación:

De manera general, podemos obtener la distancia entre dos puntos cualquiera de coordenadas P0(x0, y0) y P1(x1, y1) con la siguiente expresión:

Lugar Geométrico.

Una vez que conocemos la forma en que se ubica un punto, podemos introducir, entonces, el concepto de lugar geométrico, definiéndolo como el conjunto de puntos ubicados en el plano de una forma específica, no de manera arbitraria como hicimos en el ejemplo anterior, sino siguiendo un orden determinado. Así mismo, este orden se define como una ecuación que determinará en todo caso los valores x y y que tomará cada uno de nuestros puntos en el denominado lugar geométrico.

Algunos ejemplos de lugar geométrico son:

• La línea recta.
• La circunferencia.
• La elipse.
• La parábola.
• La hipérbola

En próximas entradas abordaremos cada uno de ellos, comenzando con la línea recta y responderemos a preguntas como ¿De qué manera podemos visualizar una ecuación dentro del plano? ¿Cómo se representa una variable elevada a la potencia 2, 3, 4 o 30? y más.