Números complejos. El inicio de algo imaginario.

Por mucho tiempo, a los matemáticos las fascinaban cierto tipo de ecuaciones polinomiales las cuales parecían no tener solución en las matemáticas conocidas, ecuaciones como:

eran de lo más extrañas para ellos y muchos las evadían. Sin embargo, poco a poco se fueron adentrando en ellas y soluciones, creando un nuevo conjunto de números, este nuevo conjunto abarca a los números reales, y es el más grande que existe. Gauss fue uno de los primeros en utilizar los números complejos de manera formal. Sin embargo, fue Cauchy quien más aportes dio al estudio de los números complejos.

El número que da vida a todo el conjunto complejo está definido como:

y con él, nace una forma diferente de números, los números complejos, este tipo de números son de la forma:

donde  a y b son números reales, e i es la unidad compleja.

Estos números están conformados por dos partes, como puede observarse; una parte real, conformada por a, y una parte imaginaria, la cual está conformada por b.

Desde la propia definición de número complejo se puede observar que este nuevo conjunto es más grande que los números reales, ya que si b = 0, se obtiene un número real puro. De igual manera, si    a = 0, se dice que se tiene un número imaginario puro.

La parte real e imaginaria de este tipo de números se abrevian como Re(z) e Im(z), respectivamente.

Los números complejos están conformados por dos componentes independientes, por lo que la recta real nos imposibilita describirlos con totalidad, es por este motivo que se crea un plano para poder describirlos, el cual tiene un eje real y un eje imaginario. 

En la siguiente imagen, se muestran los diferentes tipos de números que pueden representarse en el plano complejo.

Una característica importante de los números complejos es que pierden su orden, no existe un criterio para establecer si un número complejo es mayor o menor que otro. Algo asombroso, pues siempre hemos estado acostumbrados a que podemos ordenar los números de mayor a menor y viceversa, sin embargo, en los números complejos no es posible hacerlo sin caer en contradicciones. Por lo tanto, se dice que los números complejos son un conjunto no ordenado.

Por otro lado, lo que no pierden de los números reales es la posibilidad de ser sumados, restados, multiplicados, divididos y ser elevados a diferentes potencias, sin embargo, en esta entrada sólo se abordarán las primeras cuatro operaciones antes mencionadas, ya que para las potencias y raíces es más conveniente trabajar los números complejos en su forma polar, lo cual se abordará en una próxima entrada.

Un dato importante por definir es el criterio de igualdad, el cual nos dice que si tenemos dos números complejos.

estos serán iguales sí y solo si:

y

Número complejo conjugado:

Es importante conocer el conjugado de un número complejo, el cual está definido como el número complejo que tiene la misma parte real, pero tiene el negativo de la parte imaginaria de cualquier número complejo. Es decir:

Si 

es un número complejo, su número complejo conjugado está definido como:

Suma y resta de números complejos: 

Para sumar números complejos, es necesario sumar las partes reales y las partes imaginarias por separado, esto es:

para restar:

Multiplicación:

En la multiplicación y división es diferente, pues utilizamos la ley distributiva, y, recordando que i² = -1, tenemos:

acomodando la parte real e imaginaria, el producto de dos números complejos da como resultado:

División:

Para dividir dos números complejos, sólo se debe recordar que se debe multiplicar y dividir por el conjugado del denominador.

simplificando y acomodando la parte real e imaginaria obtenemos:

Como se definieron las constantes a y b como números reales, las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad están incluidas en sus operaciones.

Módulo:

El módulo de un número complejo es el valor absoluto del mismo, el cual, se define mediante:

donde z es de la forma: z = a + i b.

Podemos decir que el módulo es la distancia que existe del origen del plano complejo al número dado.

ALGUNAS CURIOSIDADES ACERCA DEL NÚMERO i:

Potencias de i.

Los valores de las potencias de i son periódicas, es decir, cada cierto número de potencias se repite el mismo valor. Específicamente cada cuatro potencias enteras. Como se mostrará a continuación.

                                                   

Dividir entre i es multiplicar por -i.

Sí, es extraño de oír pero las matemáticas nunca mienten, aquí la demostración.

Referencias:

Zill. D, Shanahan. P. (2009). Introducción al Análisis Complejo con Aplicaciones. Ciudad de México. México. Cengage Learning.

Carrillo, I. "Variable Compleja". Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas. Instituto Politécnico Nacional. Ciudad de México. Octubre 2019.