Teorema de Pitágoras. Demostración.

Teorema de Pitágoras. 

Demostrando el Teorema.

El teorema de Pitágoras se nos es enseñado desde secundaria e incluso, quizás a algunos desde primaria, es un concepto que tenemos tan arraigado a nuestra educación que muchas veces nos es difícil recordar de dónde viene. Sin embargo, lo aceptamos como verdad e incluso hacemos uso de él en toda clase de problemas relacionados con triángulos rectángulos.

Este teorema nos dice lo siguiente:

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos."

En forma de ecuación, nos dice lo siguiente:

Donde c es el lado del triángulo más grande, al cual se le conoce como hipotenusa.

a es el lado que representa la altura del triángulo, y se le conoce como cateto opuesto pues es el lado más alejado al ángulo P, mostrado en la figura.

b es el lado que representa la base del triángulo, y se le conoce como cateto adyacente, pues es el lado que, junto a la hipotenusa, forma al ángulo P antes mencionado.

De manera geométrica, podemos visualizar el teorema como áreas:

Pero, ¿cómo podemos comprobar que esto es cierto? y ¿cómo podemos saber que esta relación aplica siempre? Sin importar el triángulo rectángulo con el que trabajemos, el teorema de Pitágoras se cumple, y en esta ocasión aprenderemos una forma sencilla de demostrarlo. 

Comenzaremos analizando la siguiente ilustración:

Tenemos un cuadrado, cuyos lados se han divido en dos secciones de longitud a y b. Así, si quisiéramos obtener el área de esta figura, bastaría con utilizar la conocida fórmula: 

Área = lado * lado

ó

Área  = (lado)²

Por lo que, en nuestro ejemplo, el área (A) sería igual al cuadrado de la suma de los segmentos a y b:

A = (a + b)²

Ahora, si uniéramos las marcas que delimitan los segmentos en los que se dividió cada uno de los lados, obtendríamos la siguiente figura:

Esta vez, el cuadrado inicial (de lado = a + b) estaría compuesto por 4 triángulos rectángulos de altura igual a b y base igual a a, además de un cuadrado formado por las hipotenusas de nuestros triángulos, cuya longitud denotamos con c.

De esta forma, podríamos obtener el área total de la figura sumando el área de los triángulos con el área del cuadrado de lado c, como se muestra:

Atot = (Área cuadrado azul) + (Área 4 triángulos rosas)

Recordemos ahora, que en todo momento hemos trabajado con el mismo cuadrado inicial, aquel cuyo lado = a + b, por lo que el área que obtuvimos con A = (a + b)² es la misma que la que se consiguió al sumar las áreas de los triángulos con el área del cuadrado azul

Esto es:

donde (ab/2) representa el área de cada triángulo.

Si desarrollamos el término cuadrático del lado izquierdo, y simplificando la fracción 4/2 del lado derecho de la igualdad, resulta:

Nuevamente, al simplificar la ecuación, obtenemos la famosa expresión que da vida al teorema de Pitágoras, la ecuación:

Reiterando, esta igualdad nos expresa que, al tener un triángulo rectángulo cualquiera, de catetos denotados con a y b, el cuadrado de su hipotenusa c es igual a la suma del cuadrado de sus catetos.