Números complejos. Una forma sencilla de verlos.

En la entrada "Números complejos. El inicio de algo imaginario", se dieron las bases acerca de qué son y cómo se operan los números complejos, hemos visto que el producto y la división de estos no son tan sencillos como lo eran en los números reales, pero, y si te dijera que existe una forma mucho más sencilla de poder operarlos?

Forma polar de los números complejos.

Regresemos al plano complejo, observamos que existen más relaciones que podemos obtener de cualquier número, y que pueden ayudarnos a reescribirlo. 

Al ángulo formado entre el eje real y el módulo del número complejo, se le conoce como argumento, y se denota como:

donde n es un número entero. (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).

Debido a que el ángulo es periódico, es decir, podemos encontrarnos en la misma posición si sumamos o restamos 2π rad al ángulo original, se definió el argumento principal, denotado como:

y que se encuentra entre -π < Arg (z) ≤ π

Mediante el módulo y el argumento principal, podemos reemplazar las cantidades a y b de la siguiente forma:

Factorizando el módulo, finalmente obtenemos una nueva forma de escribir el número complejo, conocida como forma polar, y veremos que podremos redefinir la multiplicación y la división de manera más sencilla.

Multiplicación o Producto.

Si tenemos dos números complejos escritos en la forma polar, el producto de ambos está determinado mediante:

recordando que:

nos queda una expresión bastante sencilla para el producto de números complejos.

Esta fórmula es mucho más sencilla de aprender, pues es simplemente recordar que los módulos se multiplican y los ángulos se suman.

División o Cociente.

De manera similar, se puede demostrar que el cociente de dos números complejos en su forma polar está dada por:

Observamos que en esta ocasión, los módulos se dividen y los ángulos se restan. Una forma bastante sencilla de recordar estas operaciones, pues son las contrarias a las que se tenían que realizar para obtener el producto.

Potencias.

Para sacar las potencias de algún número complejo, es necesario recordar la multiplicación, ya que de ella se puede deducir una expresión general para elevar un número a la n potencia. Para eso, observemos qué sucede cuando se quiere encontrar z².

que se reduce a:

Para encontrar z³:

Por lo tanto, de manera, general, se tiene que para zⁿ:

donde n es un número real entero.

Dato curioso.

¿Multiplicar es rotar?

Quizás alguna vez hayas escuchado que multiplicar por i es rotar π/2 rad, pero ese es sólo un caso especial, multiplicar, en los números complejos, siempre significa rotar, y para demostrarlo, supongamos que tenemos un número complejo:

y lo queremos multiplicar por un número de módulo 1, es decir, un número de la forma:

Se escogió un número z₁ de módulo 1 ya que es más sencillo visualizar la rotación. De esta manera, se presentan dos casos, donde  β > 0 y donde  β < 0.

Caso 1: β > 0

El resultado del producto de ambos números es:

Como β > 0, la suma de los ángulos es mayor al ángulo original, provocando una rotación en sentido antihorario sobre el plano complejo tal y como se muestra en la imagen.

Caso 2: β < 0

El resultado del producto de ambos números es:

Como β < 0, la suma de los ángulos es menor al ángulo original, provocando una rotación en sentido horario sobre el plano complejo tal y como se muestra en la imagen.

 

De manera similar, si z1 hubiera tenido un módulo diferente de 1, habría provocado que el radio de giro incrementara o disminuyera, dependiendo si era mayor a 1 o no. Sin embargo, la rotación que provocaría sería la misma, en sentido antihorario si β > 0 o en sentido horario si β < 0.

Regresando al caso particular de multiplicar por i, notamos que el argumento principal de dicho número es π/2 rad, y que su módulo es 1, es por esto que siempre que se multiplique por i  se obtiene una rotación de  π/2 rad en sentido antihorario de cualquier número, pues:

Esto también explica el por qué los valores de las potencias enteras de i tienen una periodicidad de 4 potencias, pues le toma 4 giros llegar a hacer una rotación completa.

Así de increíbles son los números complejos, pero aún falta definir una operación más, y en mi opinión, la más asombrosa de todas, la raíz de un número complejo, pero ese es tema de otro post.

Referencias:

Zill. D, Shanahan. P. (2009). Introducción al Análisis Complejo con Aplicaciones. Ciudad de México. México. Cengage Learning.

Carrillo, I. "Variable Compleja". Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas. Instituto Politécnico Nacional. Ciudad de México. Octubre 2019.