Números complejos. La belleza de las raíces.

Hasta el momento se ha hablado acerca de la suma, resta, producto, cociente y potencia de números complejos. Pero nada se ha dicho acerca de las raíces de estos, por ejemplo, vimos en la entrada Números complejos. El inicio de algo imaginario, que el producto y el cociente de dos números complejos para coordenadas cartesianas puede definirse de la siguiente manera:

cociente de números complejos escritos en su forma cartesiana

producto de números complejos escritos en su forma cartesiana

donde:

Sin embargo, en la entrada Números complejos. Una forma sencilla de verlos, vimos que podemos reescribir a los números complejos en su forma polar, de manera que las fórmulas para el producto y el cociente de los mismos fueran mucho más fáciles de recordar, pues se simplifican las fórmulas anteriores a las siguientes:

cociente de números complejos escritos en su forma polar

producto de números complejos escritos en su forma polar

donde:

De igual manera, se mostró que gracias a la forma polar de los números complejos nos es mucho más sencillo operarlos y entender qué significa gráficamente un producto o un cociente, se explicó por qué multiplicar por i es rotar un número π/2 rad. Sin embargo, no se habló acerca de las raíces de estos, lo cual hablaremos en esta entrada, pues estas son más fascinantes de lo que uno podría pensar. 

Estamos acostumbrados a que las raíces de los números reales sólo tengan un número limitado de soluciones sin importar el orden o el grado de la raíz; por ejemplo, la raíz cúbica de 8, sólo tiene una solución:

 La raíz cuarta de 16 tiene únicamente dos soluciones: 

Sin embargo, en los números complejos, se tienen tantas soluciones diferentes como raíces se quieran. Es decir, si quiero la raíz n-ésima de un número complejo, obtendré n números diferentes que satisfacen la raíz, y eso no es todo, veremos que éstas raíces se distribuyen a lo largo y ancho del plano complejo de manera que forman geometrías regulares, pero no nos adelantemos, empecemos por la definición.

Una potencia de un número complejo, genera otro número complejo de la forma:

De acuerdo al criterio de igualdad, visto en la entrada Números complejos. El inicio de algo imaginario, se tiene que tanto los módulos de los números como los argumentos de los mismos deben ser iguales, esto es:

y:

donde k es un número entero que va desde 0 hasta n-1. Despejando  α:

En este momento quizás se pregunten de dónde sale el término 2πk y por qué k tiene ese rango de valores. Este termino se debe a que, como sabemos, todos los ángulos tienen una periodicidad de 2π rad, es decir, si sumamos a cada ángulo 2π rad nos encontraremos en el mismo lugar que el ángulo original. Sin embargo, como el ángulo α es una fracción de β, también el término 2π es afectado por la fracción. Lo cual indica que los 2π rad se dividen en n partes, por lo que cada una de las raíces se encontrará en cada una de las fracciones de este, y para recorrer esas fracciones se utiliza a k, quien nos permitirá movernos por todas estas fracciones. 

Esto implica que se generen n raíces distintas, de manera que se obtienen n números diferentes que satisfacen la raíz, los cuales tienen la forma:

Cuando k=0, wk = w0 , a la cual denotamos como raíz principal.

Cabe destacar que todas las raíces tienen el mismo módulo, por lo que se encuentran a la misma distancia del origen del plano complejo.

Para ejemplificar lo antes mencionado, se mostrarán algunos ejemplos de raíces complejas.

Raíz cúbica de i.

Como sabemos, el argumento principal de i es π/2, y su módulo es 1. Por lo tanto, la ecuación de las raíces cúbicas para este caso es:

y donde k=0,1 y 2.

Por lo tanto, las diferentes soluciones de las raíces cúbicas de i son las siguientes:

donde w0 es la raíz principal. Mostradas en el plano complejo:

Raíz quinta de i.

De igual manera, la ecuación para obtener todas las raíces queda de la siguiente forma:

En esta ocasión, k=0, 1, 2, 3 y 4.

Los números que satisfacen esta ecuación son:

donde w0 es la raíz principal, en el plano complejo están distribuidas de la siguiente forma:

Así observamos que para la raíz n-ésima de cada número complejo, se tienen n números diferentes que la satisfacen. 

La variable compleja es fascinante, nunca sabes lo que te puedes encontrar. Para finalizar dejo una pregunta, si ya vimos que la multiplicación genera una rotación, y las raíces se acoplan en geometrías regulares, ¿qué creen que pase con las funciones complejas?

Referencias:

Zill. D, Shanahan. P. (2009). Introducción al Análisis Complejo con Aplicaciones. Ciudad de México. México. Cengage Learning.

Carrillo, I. "Variable Compleja". Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas. Instituto Politécnico Nacional. Ciudad de México. Octubre 2019.