Números complejos. Nada es lo que parece.
En la entrada Números Complejos. La belleza de las raíces, se mencionó la geometría que las raíces de un número complejo generan sobre el plano y cómo esto es posible, en la entrada Números Complejos. Una forma sencilla de verlos se explicó el efecto geométrico que generaba la multiplicación. Ahora es turno de ver las curiosidades de las funciones complejas.
Las funciones complejas tienen la misma definición que una función en los números reales, es una relación única entre dos o más conjuntos, pero una de sus principales diferencias con las funciones en los números reales, es que están compuestas de dos partes, una parte real y una parte imaginaria, a las cuales denominaremos u y v, respectivamente.
Cualquier función compleja w puede escribirse de la forma:
Por ejemplo, la función:
Donde z = x + i y, puede ser reescrita en términos de x e y, de manera que es más sencillo identificar a u y a v.
Está compuesta por su parte real e imaginaria de la siguiente forma:
Recordar que z* es la notación del conjugado de z, vista en Números complejos. El inicio de algo imaginario.
También veremos que para este tipo de funciones nos es imposible dibujar su gráfica, y para explicarlo, veamos qué sucede con las funciones de números reales cuando se tiene una o más variables independientes, por ejemplo, la función:
Nos relaciona solamente dos variables, x e y, por lo que la gráfica de esta función puede dibujarse perfectamente en un plano cartesiano, ya que es un plano bidimensional, es decir, es capaz de dibujar funciones de hasta dos variables, donde cada eje representa una de las variables que se relacionan en la función.
De manera similar, se puede obtener una función del tipo:
Este tipo de funciones no pueden ser graficadas en el plano cartesiano, ya que carece de un tercer eje que represente a una tercer variable. Sin embargo, en un espacio tridimensional, es posible dibujarlas.
Por otro lado, para funciones que tengan más de tres variables, como:
Nos es imposible graficarlas, pues no conocemos cómo dibujar tantas dimensiones. En el caso de los números complejos, hemos visto que las funciones complejas requieren de 4 variables, dos variables de entrada (x , y) y dos variables de salida (u , v), por lo que necesitaríamos un sistema de 4 dimensiones para graficarlos, es por esto que nos es imposible conocer la gráfica de los mismos.
Sin embargo, es posible "mapear", las funciones complejas para tener un aproximado de cómo se comportan. Para ejemplificar lo que es "mapear", veamos el siguiente ejemplo.
Si graficamos la ecuación de una esfera en el plano tridimensional, obtendremos la imagen real de esta.
De manera similar, podemos ver la proyección de las funciones complejas, pero para hacer esto, es necesario generar dos planos cartesianos, uno destinado a ver cómo "entra" un número o conjunto de números (x , y) a la función, y otro destinado a ver cómo se "transforman" esos números en la misma (u , v). Esto es equivalente a ver los números complejos en otra dimensión. Pasar de la dimensión "normal compleja", a la dimensión "función".
Veamos un ejemplo.
Cómo se vería la recta x = 5, bajo la función:
Sabemos claramente que la recta en el plano complejo es una línea vertical, pues tiene la forma z = 5 + iy. Es decir, cualquier número complejo que satisface Re(z)=10, será parte del conjunto de números a graficar. Lo cual forma una línea recta y paralela al eje imaginario. Al introducir la recta en la función, obtenemos la siguiente ecuación:
de manera que u y v se reescriben como sigue:
Sin embargo, nosotros queremos encontrar cómo se ve la recta en el plano de la función, por lo que debemos encontrar una expresión que sólo tenga las variables u y v para que podamos graficarla en el plano, esto es relativamente sencillo, basta con despejar y de alguna de las dos ecuaciones y sustituirla en la otra. De esta forma, obtenemos la ecuación buscada y con la que podremos encontrar la imagen de la recta en el plano de la función.
Esto quiere decir que la función dobla en parábolas a las líneas verticales.
Veamos ahora qué le sucede a la misma recta vertical de la forma x = 5, aplicada a la función:
Al hacer un procedimiento similar al anterior, veremos que se genera la siguiente ecuación en el plano de la función:
de manera que convierte las líneas verticales en circunferencias de radio x/2 y desplazadas x/2 unidades a la derecha.
Y así como estas, existen muchas funciones complejas que pueden convertir un conjunto de números (en nuestro caso una línea recta) a parábolas, o hipérbolas, o circunferencias o cualquier otra geometría. Sin embargo, es importante recalcar que una función siempre entregará el mismo tipo geometría, esto es debido a la naturaleza intrínseca de la ecuación. Ojo, puede entregar alteraciones de esta (rotada, agrandada, acortada), pero nunca puede cambiar la naturaleza de la misma.
Como último ejemplo y para demostrar lo anterior, veamos qué sucede con el conjunto de números del tipo:
Al aplicarle la función:
Al desarrollar el procedimiento antes mencionado en la parte superior de este texto, descubriremos que este conjunto de números también se transforma en una parábola, Así como lo hacía la línea vertical x=5.
Basta con ver la similitud de los coeficientes de las variables en ambas ecuaciones, siempre conservan las mismas relaciones.
Así es como en los números complejos nada es lo que parece.
Referencias:
Zill. D, Shanahan. P. (2009). Introducción al Análisis Complejo con Aplicaciones. Ciudad de México. México. Cengage Learning.
Carrillo, I. "Variable Compleja". Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas. Instituto Politécnico Nacional. Ciudad de México. Octubre 2019.
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